2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学（理工农医类）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若a＜0，，则。
a．a＞1,b＞0 b．a＞1,b＜0 c. 0＜a＜1, b＞0 d. 0＜a＜1, b＜0
测量目标】对数、指数函数的图象与性质。
考查方式】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a，b即可。
难易程度】容易。
参***】d
试题解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0＜a＜1, b＜0
故选d.2．对于非零向量是的。
a．充分不必要条件b. 必要不充分条件。
c．充分必要条件d. 既不充分也不必要条件。
测量目标】向量共线定理，充分必要条件。
考查方式】利用向量垂直的充要条件以及举反例得到答案。
难易程度】容易。
参***】a
试题解析】（步骤1）
反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到=
所以是的充分不必要条件。（步骤2）
3．将函数y=sinx的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，则等于 （
abcd.
测量目标】函数的图象及其变换，诱导公式。
考查方式】将图象变换后得到平移后的函数，根据诱导公式可得到答案。
难易程度】容易。
参***】d
试题解析】将函数向左平移个单位得到函数。
根据诱导公式知当时有：故选d.
4．如图，当参数取时，连续函数的图象分别对应曲线和， 则 （
第4题图 ab.
cd. 测量目标】函数图象的判断。
考查方式】将原函数以及平移后的图象画出，判断出，的大小。
难易程度】容易。
参***】a
试题解析】曲线和在第一象限内成递增趋势。
均大于0，根据图象有∴（步骤1），∴故选a.（步骤2）
5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为a. 85b. 56c. 49d. 28
测量目标】排列、组合及其应用。
考查方式】列出符合题意的情况，根据分类计数原理得到结果。
难易程度】中等。
参***】c
试题解析】∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个。（步骤1）
甲，乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法由：另一类是甲乙都选的选法有，（步骤2）
根据分类计数原理知共有42+7=49，故选c.（步骤3）
6. 已知d是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域d内。
的弧长为 （
abcd.
测量目标】圆的性质，直线与圆的位置关系。
考查方式】画出二元一次不等式组以及圆的图象，利用弧长公式求出答案。
难易程度】中等。
参***】b
试题解析】如图阴影部分表示确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求。∵，步骤1）
劣弧的长度为，故选b.（步骤2）
第6题图 7．正方体的棱上到异面直线ab,的距离相等的点的个数为
a．2b．3c. 4d. 5
测量目标】空间几何体以及两直线的位置关系。
考查方式】由正方体判断到直线ab距离相等的点得到答案。
难易程度】容易。
参***】c
试题解析】由正方体可知，设e,f分别为ab,的中点，可知满足条件。故答案选c.
第7题图 8.设函数在内有定义，对于给定的正数k，定义函数。
取函数若对任意的，恒有，则。
a．k的最大值为2b. k的最小值为2
c．k的最大值为1d. k的最小值为1
测量目标】利用导数求函数的最值。
考查方式】根据新定义的函数建立与之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数求出函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果。
难易程度】中等。
参***】d
试题解析】由题意可得出，由于令。
解出，即，（步骤1）
当时，单调递减，当时，单调递增。
故当时，取到最大值。（步骤2）
故当时，恒有。因此k的最小值是1.故选d（步骤3）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___
测量目标】集合的基本运算。
考查方式】设出3个未知量，根据题意中关系得出答案。
难易程度】中等。
参***】12
试题解析】设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人（步骤1），由此可得，解得（步骤2）
所以，即所求人数为12人，故答案为：12.（步骤3）
10．在的展开式中，的系数为___用数字作答)
测量目标】二项式定理。
考查方式】主要考查二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项系数问题。
难易程度】中等。
参***】7
试题解析】,故答案为7.
11、若则2tanx+tan(x)的最小值为。
测量目标】诱导公式，基本不等式求最值。
考查方式】利用诱导公式将函数化简，再根据不等式求出最小值。
难易程度】容易。
参***】试题解析】,（步骤1）
当且仅当时，等号成立。）（步骤2）
故答案为：.
12.已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为，则双曲线c的离心率为 .
测量目标】双曲线的简单几何性质。
考查方式】分类讨论不同情况下求出双曲线的离心率。
难易程度】容易。
参***】试题解析】设双曲线c的焦点坐标是和，虚轴两个端点是和，则四边形为菱形。若，则。由勾股定理可知。
步骤1），故双曲线c的离心率为（步骤2）
若，则由勾股定理可知不满足，所以不成立。
综上所述，双曲线c的离心率为（步骤3）
13.一个总体分为a，b两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知b层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 .
测量目标】分层抽样，等可能事件的概率。
考查方式】理解分层抽样的含义，根据题中条件求出总体中的个体数。
难易程度】中等。
参***】40
试题解析】设b中有n个个体，∵b层中甲，乙都被抽到的概率为，，（步骤1）∴，舍去），（步骤2）
总体为a,b两层，其个体数之比为4:1，∴共有个体（4+1）.（步骤3）
14.在半径为13的球面上有a , b, c 三点，ab=6，bc=8，ca=10，则。
1）球心到平面abc的距离为 ；
2）过a，b两点的大圆面为平面abc所成二面角为（锐角）的正切值为 .
测量目标】点到面的距离，二面角。
考查方式】（1）由圆心在△abc的位置，利用勾股定理直接求出距离。
2）作出a,b两点的大圆面与平面abc所成二面角，直接求出它的正切值即可。
难易程度】较难。
参***】（1）12 （2）3
试题解析】（1）是直角三角形（步骤1），平面是小圆，圆心在的中点，球心到圆心的距离就是球心到平面的距离，即：（步骤2）
2）过d作de垂直ab于e，连接oe则就是过a,b两点的大圆与平面abc所成二面角。易得de=4，所以。
第14题图
15.将正分割成个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点a ,b ,c处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= f(n)=
图1图2 第15题图。
测量目标】等差数列的应用，归纳推理。
考查方式】根据等差中项法分别求出时的值，由此归纳出的值即可。
难易程度】较难。
参***】试题解析】由题意可得（各点放的数用改点的坐标表示）
当时，根据等差数列的性质可得，且，（步骤1），当时，根据等差数列的性质可得。
且（步骤2）.
从而可，同样根据等差中项可得，的数为∴，同理可得。
（步骤3）第15题图
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。